Gewichtung
Jan-Philipp Kolb
11 April 2016
Einordnung - Verschiedene Arten von Gewichten
Designgewicht
- um die Stichprobenziehung mit ungleichen Wahrscheinlichkeiten zu kompensieren (z.B. stratifizierte Stichproben mit einer disproportionalen Allokation)
Anpassungsgewichte
- um schlechte Stichproben anzupassen
- um Nonresponse zu Kompensieren
Gesamtgewicht
Gesamtgewicht = Design-Gewicht * Anpassungsgewicht
Eigenschaften von Gewichten
Ein Survey-Gewicht ist ein Wert, der jeweils einer Beobachtung zugeordnet ist.
Oft werden Gewichte auf die Anzahl der Fälle oder die Populationsgröße normiert.
Ein Gewicht w kann kleiner , gleich oder größer als 1 sein.
Ein Design-Gewicht ist bei der Schätzung proportional zum relativen Beitrag eines Befragten.
Es ist proportional zum Inversen der Inklusionswahrscheinlichkeit.
Die Größe einer speziellen Gruppe wird durch die Summe ihrer Gewichte geschätzt.
Grundlagen der Designgewichtung
Was sind Design-Gewichte
- Stichprobenziehung - also keine Vollerhebung
- ungleiche Wahrscheinlichkeiten - bspw. durch Schichtung und Klumpung
Allgemeine Überlegungen zum Erhebungsdesign
- Ziel der Erhebung
- Genaue Definition der Grundgesamtheit
- Mögliche Auswahlrahmen
- Erhebungsmodus
- Externe Daten
- Aussagen über Subgruppen
- Modellvorstellungen
- Nonresponse
- Stichprobendesign
- Schätzverfahren, Gewichtung
- Stichprobenkosten
- Software
- Dokumentation, Methodenbericht
Erhebungsmodus
- persönlich-mündlich
- telefonisch
- schriftlich
- online
- social media
- mixed mode
Überblick Zahlen Erhebungsmodus
Zahlen des ADM
Beispiele von Bevölkerungsumfragen
- BIBB/BAuA-Erwerbstätigenbefragung - Arbeit und Beruf im Wandel, Erwerb und Verwertung beruflicher Qualifikationen
http://www.bibb.de/de/62622.htm
- Mikrozensus (1 Prozent Stichprobe)
https://www.destatis.de/DE/ZahlenFakten/GesellschaftStaat/Bevoelkerung/Mikrozensus.html
https://www.destatis.de/DE/Publikationen/Qualitaetsberichte/Bevoelkerung/Mikrozensus2013.html
- European Social Survey
http://www.europeansocialsurvey.org
- PIAAC
Vorteile von Stichproben
- Stichproben in der Regel billiger
- Geringere Belastung für die Bevölkerung
- Ergebnisse stehen bei Auswahlen schneller zur Verfügung
- Geringere Größe des Mitarbeiterstabes notwendig, bessere Schulung möglich
- Größere Messgenauigkeit bei Auswahlen (Fachleute)
- Besserer Umgang mit Ausfällen möglich (Nachfassaktionen, evtl- auch mit Incentives)
- Einzige Möglichkeit bei Zerstörung des Untersuchungsgegenstandes (z-B- Gütekontrolle bei Glühlampen, Elchtest, Blutgruppe)
Einschränkungen bei Stichproben
- Stichproben bei verhältnismäßig kleinen Grundgesamtheiten nicht sinnvoll
- Aussagen für kleine Subgruppen unpräziser als bei Totalerhebung
- Bei sehr heterogenen Grundgesamtheiten eher Totalerhebung (z-B- Fingerabdrücke in einer Population im Gegensatz zu Blutzellen in einem Körper)
- Totalerhebungen sind einzige Möglichkeit bei Gefahr der Zerstörung der Grundgesamtheit (z-B-Rückrufaktion)
Grundgesamtheit
- Die Grundgesamtheit (engl- target population) ist die Menge von Elementen, für die Aussagen - z-B- unter Zuhilfenahme von Statistiken aus einer Stichprobe - gemacht werden sollen- Sie wird auch Population, Untersuchungs- oder Zielgesamtheit bezeichnet-
- Sie muss sachlich, räumlich und zeitlich definiert sein-
- Sie muss an der Themenstellung und an der praktischen Durchführbarkeit orientiert sein
Auswahlrahmen/Auswahlgesamtheit
Der Auswahlrahmen (engl. sampling frame) ist eine Liste von Einheiten (engl. sampling units), aus dem die Stichprobe gezogen wird und über den man Zugang zu den Untersuchungseinheiten erhält (z.B. das Telefonbuch). - Die über den Auswahlrahmen erreichbaren Einheiten bilden die Auswahlgesamtheit.
Idealerweise enthält der Auswahlrahmen genau alle Einheiten der Untersuchungsgesamtheit. In der Praxis ist das aber selten der Fall.
Coverage
Ist ein Element der Grundgesamtheit im Auswahlrahmen bzw. der Auswahlgesamtheit nicht enthalten, gehört es zum „undercoverage“ , d.h. zu einem Fehlbestand. Ein Beispiel wären die Personen, die nicht im Telefonfonbuch stehen.
Gehört ein Element des Auswahlrahmens nicht zur Grundgesamtheit, spricht man von „overcoverage“, d.h. von Karteileichen oder Überhöhung. Ein Beispiel wären Geschäftsnummern im Telefonbuch.
Die Auswahlgesamtheit
Auswahlgesamtheit
Stichprobendesign
Beispiel einfache Zufallsstichprobe
## Population: 1 2 4 4 7 7 7 8## 1. Stichprobe (n=4):7787
## 2. Stichprobe (n=4):7227
## 3. Stichprobe (n=4):8747
## 4. Stichprobe (n=4):8477
## 5. Stichprobe (n=4):2847
## 6. Stichprobe (n=4):7484
## 7. Stichprobe (n=4):7274
## 8. Stichprobe (n=4):2447Was passiert bei vielen Stichproben
Systematische Stichprobe
Cluster Sample
Beispiel aus Lohr
Schichtung
Beispieldatensatz Schichtung
| state | region | income |
|---|---|---|
| nc | 1 | 46.84389 |
| nc | 1 | 678.59072 |
| nc | 1 | 878.58315 |
| nc | 1 | 764.14604 |
| nc | 1 | 808.08004 |
| nc | 1 | 244.96278 |
| state nc | state sc | |
|---|---|---|
| region 1 | 100 | 30 |
| region 2 | 50 | 40 |
| region 3 | 15 | 0 |
Stratified Random Sampling (STRAT)
Stratified sampling with disproportional allocation
Stratfied Sampling
Horvitz-Thompson estimator is identical to the usual stratified estimator
Beispiel Lohr
| state | acres92 | acres87 | region | weight |
|---|---|---|---|---|
| NE | 297326 | 332862 | NC | 10.23301 |
| IN | 124694 | 131481 | NC | 10.23301 |
| OH | 246938 | 263457 | NC | 10.23301 |
| MI | 206781 | 190251 | NC | 10.23301 |
| WI | 78772 | 85201 | NC | 10.23301 |
| MN | 210897 | 229537 | NC | 10.23301 |
Beispiel Lohr agstrat.dat Strata: North Central, Northeast, South, West
Horvitz Thompson
The Horvitz-Thompson estimator for the total T_y is defined by
Horvitz Thompson
It is unbiased if all inclusion probabilities are positive. The variance of the Horvitz-Thompson estimator is given by:
Variance HT
If all inclusion probabilities of second order pi_ij are positive we have:
VarianceHT2
Formel 1
Grundlagen der Anpassungsgewichtung
Cell Weights
Cell Weights
The iterative proportional fitting algorithm (IPF) is an iterative algorithm for estimating cell values of a contingency table such that the marginal totals remain fixed and the estimated table decomposes into an outer product.
Deming and Stephan(1940)
Nonresponse
Non Response
Nonresponse
- Sometimes, answers for some units of the selected sample are either totally or partly missing.
This is referred to as nonresponse.
- Sources for unit non-response can be not-athomes, refusals, unable to answer or not found.
If a respondent answers some but not all the items, these missing are referred to as item non-response.
Non-response is a very serious problem and the treatment of which requires modeling assumptions.
Therefore, it may be easier to deal with non-response in the framework of model-based inference.
Usually, weighting procedures are applied for treating unit non-response and imputation methods for item non-response. Calibration estimators are used very often nowadays to get a grip on the non-response problem.